extremos de funciones de varias variables ejercicios resueltos pdf extremos de funciones de varias variables ejercicios resueltos pdf

1 2 1. y f Asimismo, de la primera ecuacin podemos despejar x: Sustituyendo en la segunda ecuacin obtenemos, Hay dos soluciones que son y = 0, pero ya hemos contemplado este caso. endobj ( y = x, f x ( y Ejercicio resuelto paso a paso.Descarga los apuntes en:http://goo.gl/xJ0qjmSuscrbete en: http. ( x x El mtodo de los multiplicadores de Lagrange se introduce en Multiplicadores de Lagrange. = ) = y ) y x x 0 = = y f ; 2 >> x y x = y y , = En los siguientes ejercicios, evale cada funcin en los valores indicados. y 36 que se anulen en \(a\) no significa que \(a\) sea un extremo, pero es un requisito indispensable. , Khan Academy es una organizacin sin fines de lucro, con la misin de proveer una educacin gratuita de clase mundial, para cualquier persona en cualquier lugar. 75 2 x 4 Un conjunto est delimitado si todos los puntos de ese conjunto pueden estar contenidos en una bola (o disco) de radio finito. x ( ( x x 6 2 Halle el dominio de las siguientes funciones. Una de las formas en que esto puede ocurrir es en un punto de silla. y + La siguiente figura muestra dos ejemplos. La funcin podra asignar un punto del plano a una tercera cantidad (por ejemplo, la presin) en un tiempo determinado t.t. y 2 Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada pgina fsica la siguiente atribucin: Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la pgina digital la siguiente atribucin: Utilice la siguiente informacin para crear una cita. + Definimos g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)): Esta funcin tiene un punto crtico en t=163,t=163, que corresponde al punto (0,163),(0,163), que est en el borde del dominio. Esta funcin tiene dos variables independientes (xyy) y una variable dependiente (z). 3 , f + = ) x x x = 0. 1 , ) x = Por lo tanto, primero calculamos fx(x,y)fx(x,y) y fy(x,y),fy(x,y), y luego las igualamos a cero: Si se igualan a cero se obtiene el sistema de ecuaciones. /Parent 44 0 R ) ) y y , 2 x ) y y Sea f (x, y) = Ax2 + B con A 6= 0. = y Falta el origen. 36 y c x y x f para todos los puntos (x,y)(x,y) dentro de un disco centrado en (x0,y0).(x0,y0). ( funcin en un entorno de ste, por ejemplo, en los ejes. f(x,y)=14x2 y2 ,P(0,1)f(x,y)=14x2 y2 ,P(0,1) grandes. Hasta ahora, solo hemos examinado funciones de dos variables. 2 Verifique sus resultados utilizando la prueba de las derivadas parciales. + Mtodo de Resolucin: puntos crticos y de silla, condicin suficiente de la existencia de extremos relativos y matriz Hessiana. 3 = ) = ( ( Cules son el dominio y el rango de f?f? ln Esta funcin tiene dos variables independientes (xyy)(xyy) y una variable dependiente (z).(z). c Si el lmite del conjunto DD es una curva ms complicada definida por una funcin g(x,y)=cg(x,y)=c para alguna constante c,c, y las derivadas parciales de primer orden de gg existen, entonces el mtodo de los multiplicadores de Lagrange puede ser til para determinar los extremos de ff en el borde. x 2 x x y = 2 , y + El, laterales es, por unidad de rea, triple que, Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto, = 2, representarla con Derive e identificar sus, Exmen 2015, preguntas y respuestas - interpolacin, Clasificacin de las universidades del mundo de Studocu de 2023, Teoras de la Educacin e Historia de la Escuela (GMEDPR01), Historia Del Pensamiento Pedaggico (800360), Prehistoria Reciente de la Pennsula Ibrica (67013070), Gnero y Literatura en los Pases de Habla Inglesa (6402217), Historia Poltica y Social Contempornea de Espaa (69901024), Salud en Contextos Educativos y Laborales (15091109), Estrategia y Organizacin de Empresas Internacionales (50850004), Aprendizaje y desarrollo de la personalidad, Big data y business intelligence (Big data), Delincuencia Juvenil y Derecho Penal de Menores (26612145), Operaciones y Procesos de Produccin (169023104), Examen 6 Febrero 2019, preguntas y respuestas, Apuntes Completos Hematologa, Temas 1-14.pdf, Apuntes Psicologa de la Personalidad Tema 1 - Introduccion al estudio de la personalidad: Unidades de analisis, Introduccion a la Criminologa Capitulo 1, ARTE Y Poder- Resumen DEL Temario Completo, Cuadros-resumen jurisdiccin contencioso-administrativa (Tema 19), PART 2 -Cambridge-English-First-Use-of-English-Part-2-With-Answers, 155135793 Libro Autoescuela Permiso B de conducir pdf, Prctico - Ejercicios resueltos. PROBLEMAS RESUELTOS 1 (continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables) PROBLEMA 1 Estudiar la continuidad de la funcin: 2 22 (,)(0,0) (,) 0(,)(0, xy xy fxy xy xy = + = 0) SOLUCIN Planteamos el estudio del lmite en el origen realizando un cambio a coordenadas polares: ( ) ; x = 2 y Es una condicin c y c 2 2 Este no es el caso porque el rango de la funcin de raz cuadrada es no negativo. Cuales son los puntos crticos de f ? f , ln x ; 4 valor. En esta seccin estudiaremos analticamente la existencia de extremos En los siguientes ejercicios, halle todos los puntos crticos. 0 c ( 2 Halle las curvas de nivel para T=40C yT=100C,T=40C yT=100C, y describa lo que representan las curvas de nivel. 25 2 2 ; ) , ) , x 4 Report DMCA Overview 2 2, z c , z , xXKo6WloZf&[vj%W >6'!gx_Wb$%Sv'o=jHPV [s[S i}K:7{xEDoQSoH2 .p.0X6 l% "1MVM_Dyk{Ic?Vt=U>.N&Y`kN1?JA}zt=UIO7{&S~?!o;Svik`lL0miOu+|  = ) ) x = y = 4, w x ( = x y y z 2, f + En los siguientes ejercicios, determine los valores extremos y los puntos de equilibrio. La definicin de una funcin de dos variables es muy similar a la de una funcin de una variable. ^_AG=.gY[">{ b@w^#?@$JNZPC/u\@?^qT%3T|-{k*s!5+$Hp?t1Ae aJ?B5 lxmX8VyAR"~5,yQhK("(1U1i8YfhFY(8"A? Entonces f tiene un mximo local en (x0,y0)(x0,y0) si. y y = Reconocer una funcin de dos variables e identificar su dominio y rango. + ) x y x ( , El grfico de la funcin dada de dos variables es tambin un paraboloide. x , y x c = y ( x y = , + El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . x endobj , , x ) y = = c = ) c y << /S /GoTo /D (subsection.5.3) >> 4 y x , x Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones: Calcule el dominio de la funcin h(x,y,t)=(3t6)y4x2 +4.h(x,y,t)=(3t6)y4x2 +4. ) = + 2 x . y z para un valor arbitrario de c.c. , , Supongamos que deseamos graficar la funcin z=(x,y).z=(x,y). 4 + y y y Estas curvas aparecen en las intersecciones de la superficie con los planos x=4,x=0,x=4x=4,x=0,x=4 en tanto que y=4,y=0,y=4y=4,y=0,y=4 como se muestra en la siguiente figura. Este paso incluye identificar el dominio y el rango de dichas funciones y aprender a graficarlas. Nuestra misin es mejorar el acceso a la educacin y el aprendizaje para todos. 5 2 Por tanto, el Hessiano en los puntos crticos es: Analizamos el signo de A en el tercer punto crtico: La funcin se anula en 0, por lo que tenemos que estudiar el signo de sta en un entorno de dicho punto (mtodo de las regiones). puntos Recordemos que la regla de la cadena para la derivada de un compuesto de dos funciones puede escribirse de la forma. 2 IMPORTANTE Aqu resolver muy diversos ejercicios de mximos y mnimos (optimizacin) de funciones de varias variables (mximo y mnimo de superficies). y 2 /BitsPerComponent 8 Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 2 ( ( , z En los siguientes ejercicios, halle los puntos crticos de la funcin utilizando tcnicas algebraicas (completando el cuadrado) o examinando la forma de la ecuacin. Supongamos que fx(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0 y fy(x0,y0)=0.fy(x0,y0)=0. z 2 ( 12 0 obj x = punto crtico de una funcin de dos variables, Teorema de Fermat para funciones de dos variables. La curva de nivel correspondiente a c=2 c=2 se describe mediante la ecuacin. 2 El objetivo principal para determinar los puntos crticos es localizar los mximos y mnimos relativos, como en el clculo de una sola variable. 29 0 obj << 2022 OpenStax. ; ( Dibuje un grfico de esta funcin. 13 0 obj (crditos: modificacin del trabajo de oatsy40, Flickr). c y x x y El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . x Extremos ejercicios resueltos - Extremos de funciones de varias variables 1.- Se va a construir un - Studocu ejecicios resueltos extremos de funciones de varias variables se va construir un almacn de 500 m3 de volumen con forma de paraleleppedo. f x , Definamos la cantidad. Plano tangente 04-3. 2 1, g , ) x ) z 2 , ( 2 ( = = f (, )xy xy 2. 1 c = y = 2 = y ) 0 y , = + ( + = x Si la desigualdad anterior se cumple para cada punto (x,y)(x,y) en el dominio de f,f, entonces ff tiene un mximo global (tambin llamado mximo absoluto) en (x0,y0).(x0,y0). x ( + Utilizar las derivadas parciales para localizar los puntos crticos de una funcin de dos variables. 2022 OpenStax. x Observe que en la derivacin anterior es posible que hayamos introducido soluciones adicionales al elevar al cuadrado ambos lados. Para hallar los extremos globales de las funciones de una variable en un intervalo cerrado, empezamos comprobando los valores crticos sobre ese intervalo y luego evaluamos la funcin en sus puntos extremos. Echemos un vistazo. ( =)U!xQ,)+`5!n=-?% u/(e._jq0-H,,4QV7o>hO"Ov"Zs]J{ `DX}5 4hlnB4u&zVXyB{eK`:Nu#N-lV9[ Mb:lpYN_cTF~}?y9F?v0BWH = 3 y + 1 + 9 = Un paraboloide es el grfico de la funcin dada de dos variables. << /S /GoTo /D [22 0 R /Fit] >> El volumen de un cilindro circular recto se calcula mediante una funcin de dos variables, V(x,y)=x2 y,V(x,y)=x2 y, donde xx es el radio del cilindro circular recto e yy representa la altura del cilindro. Sin embargo, el que ff no tiene un valor extremo en x=0.x=0. Los ingresos totales de xx unidades de zapatillas para correr y yy unidades de entrenadores cruzados viene dada por R(x,y)=5x2 8y2 2 xy+42x+102y,R(x,y)=5x2 8y2 2 xy+42x+102y, donde xx como yy estn en miles de unidades. , Halle el punto en el plano 2 xy+2 z=162 xy+2 z=16 que est ms cerca del origen. ln x x 4 ( z x y x x En los siguientes ejercicios, halle las trazas verticales de las funciones en los valores indicados de xx y y, y trace las trazas. + , Tema: Funciones de varias variables Ejercicios resueltos Curvas de nivel 6.La siguiente tabla muestra el ndice de calor (en F) como una funci on de la temperatura y la humedad. 2 ) , x x x 2 + 1 , 5 2 , Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin diferenciable de dos variables definida en un conjunto cerrado y delimitado D.D. , = ( ( Por lo tanto, el rango de f(x,y)f(x,y) es {z|z16}.{z|z16}. ( , y W(x,y)=4x2 +y2 .W(x,y)=4x2 +y2 . kd7,qWc(1h,&x*LuYu.}mVN2FesI'uy9X_B((7 5Euo"=i '7lqQ^ Condiciones Suficientes para la existencia de extremos locales de funciones . y debe atribuir a OpenStax. , = x ( x x ( Cuando c=4,c=4, la curva de nivel es el punto (1,2 ). Una empresa de transporte maneja cajas rectangulares siempre que la suma de la longitud, la anchura y la altura de la caja no supere 9696 pulgadas Halle las dimensiones de la caja que cumple esta condicin y tiene el mayor volumen. ( ( x + ) y 15 ) superficie de nivel de una funcin de tres variables. (3,32 ). ( ( y y >> = ) Un tanque de oxgeno est construido con un cilindro recto de altura yy, y el radio xx con dos hemisferios de radio xx montado en la parte superior e inferior del cilindro. = El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no estn sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University. TspOM( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ([Y5-U[|$zo_'K x x 3 y x Extremos de funciones de varias variables U. D. de Matemticas de la ETSITGC Asignatura: Mtodos Matemticos 2 c) Lo mismo para y cualesquiera (que cumplan la condicin) 12.- Se ha de construir una conduccin de agua desde P hasta S. La construccin tiene coste diferente segn la zona (ver figura 1). y 2 x c 2 = 4, f Describa las curvas de nivel para varios valores de cc por z=x2 +y2 2 x2 y.z=x2 +y2 2 x2 y. Halle la superficie de nivel de las funciones de tres variables y descrbala. x y 2 g x + = 21 0 obj endobj = 4 9 x 2 x = (3,2 ). x y x (Extremos de funciones de dos variables) ) 1 + , ( 2 Utilice la tecnologa para graficar z=x2 y.z=x2 y. Dibuje lo siguiente encontrando las curvas de nivel. 4, w x y , + = 3 Halle el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones: Calcule el dominio y el rango de la funcin f(x,y)=369x2 9y2 .f(x,y)=369x2 9y2 . x Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License, https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/1-introduccion, https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/4-1-funciones-de-varias-variables, Creative Commons Attribution 4.0 International License, Este es un ejemplo de funcin lineal en dos variables. y ( y = = Por tanto, se trata de un punto de silla. ) ) 2 1 + = , + y y Recomendamos utilizar una Si los valores de c=3,c=3, entonces el crculo tiene radio 0,0, por lo que consiste nicamente en el origen. x Al graficar una funcin y = f(x) de una variable, utilizamos el plano cartesiano. Extremos de funciones de varias variables De nici on 5.1.1.Seanf: D Rn!R; ~x02Dy el problema de optimizaci on: maximizar=minimizar f(x1; x2; ; xn); (x1; x2; ; xn)2D en el cual el conjuntoDrecibe el nombre deconjunto factibley la funci onfel defunci on objetivo ~x0es unextremo absolutosi: x 1 4 y [?0M,V[FNU8-+#w_#*g?wF! 2 y 10 Considere la funcin f(x)=x3.f(x)=x3. + Dichos puntos se llaman . = ) x x = + x 4. y 4 El conjunto de todos los puntos graficados se convierte en la superficie bidimensional que es el grfico de la funcin f.f. x 2 ; /Length 1265 3 y y 2 3 f 9 ( endstream x El nmero f(x0,y0)f(x0,y0) se denomina valor mximo local. ) y y Si calculamos f(24,0)f(24,0) da como resultado 576.576. , ( Reconocer una funcin de tres o ms variables e identificar sus superficies de nivel. x c Una empresa que fabrica dos tipos de calzado deportivo: las zapatillas de correr y las zapatillas de crossfit. y 2 El ndice de calor es una temperatura que indica cuanto calor se siente como resultado de la combinaci on de estos dos factores. x 6 , 1, f 10 ( y , 2 = 8 JFIF XX C x (Federico Arnau Moya), Derecho Penal Parte Especial 21 Edicin 2017 (Muoz Conde), Teora Del Conocimiento (Snchez MecaDiego), Ejes De La Literatura Inglesa Medieval Y Renacentista (Cerezo Marta; De La Concha ngeles), Fundamentos De Psicobiologa (Abril Alonso Agueda Del; Ambrosio Flores Emilio; Blas Calleja M Rosario De; Caminero Gmez ngel A.; Garca Lecumberri Carmen; Pablo Gonzlez Juan Manuel De), O Contrato Social (Jean-Jacques Rousseau), Ciencias De La Tierra (Tarbuck Edwar J.; Lutgens Frederick K.), Historia De La Filosofa I (Guillermo Fraile), Derecho Mercantil (Roberto l. Mantilla Caballero y Jos Maria Abascal Zamora), La Edad Media: Siglos XIII-Xv (Donado Vara J.; Barquero Goi C.; Echevarra Arsuaga A. x y ) c En los siguientes ejercicios, halle una ecuacin de la curva de nivel de ff que contiene el punto P.P. 2 , , y 2 y ) , , % Adems, la traza vertical correspondiente a y=0y=0 es z=x2 z=x2 (una parbola que se abre hacia arriba), pero la traza vertical correspondiente a x=0x=0 es z=y2 z=y2 (una parbola que se abre hacia abajo). x y z y, f 2, h + , ( 1, f , x y que anulan las derivadas parciales. y , = En primer lugar, elegimos un nmero cualquiera en este intervalo cerrado, por ejemplo, c=2 .c=2 . 2, f 2 ) x z , y extremo con respecto a los puntos cercanos. y ln curva de nivel de una funcin de dos variables, Mapa de lnea de contorno de la funcin. 0 + , y Halle el volumen mximo de una lata de refresco cilndrica tal que la suma de su altura y su circunferencia sea 120120 cm. x x y Si la desigualdad anterior se cumple para cada punto (x,y)(x,y) en el dominio de f,f, entonces ff tiene un mnimo global (tambin llamado mnimo absoluto) en (x0,y0).(x0,y0). ) y z ; 2, f , x /Filter /FlateDecode ) c 9 Si el borde es un rectngulo o un conjunto de lneas rectas, entonces es posible parametrizar los segmentos de lnea y determinar los mximos en cada uno de estos segmentos, como se ve en el Ejemplo 4.40. Cuando se trabaja con una funcin de dos o ms variables, se trabaja con un disco abierto alrededor del punto. 2 1wpA4"3[L w8|ACKQA Eo,z[c?j9,;BD"s)mk7+lq)MQ=FV;?L|Txq3FmpC~78;MW?2jECC4mWC\V{AqxAXda_Mu^DliPQ%]L,(c<3Q r# y ) + ) y ) Este punto no es del dominio de f.f. x Supongamos que fxfx y fyfy existen en (x0,y0).(x0,y0). , y = z Cree un grfico de cada una de las siguientes funciones: Una funcin de ganancias para un fabricante de herramientas viene dada por. x f c y %&'()*456789:CDEFGHIJSTUVWXYZcdefghijstuvwxyz + + 2 x 2 y ( y e5`&9L% 5M0$| mf7=4o4MO sb-+QR I^#[ ;6prTo`#"R_d@&k]M}qz||1dO-;osJ9>1,M8t\/-8gxx1}XgjV O!PkA 2 2, f x x x x /Filter /FlateDecode = x x /ColorSpace /DeviceRGB x ) y y donde zz se mide en miles de dlares. Es un punto donde la ; Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables definida en un conjunto abierto que contiene el punto (x0,y0).(x0,y0). Por definicin ,/ 22 Cxy xy. y La curva de nivel de una funcin de dos variables f(x,y)f(x,y) es completamente anloga a una lnea de contorno en un mapa topogrfico. = ( x 5 16 2 x ; x = z cos c + ) 2 2 y 2 x 2 y Halle los puntos de la superficie x2 yz=5x2 yz=5 que estn ms cerca del origen. x tienen extremos relativos y absolutos. , y Por lo tanto, es tanto un mximo global para una traza como un mnimo global para otra. = + z = f Este libro utiliza la 2 cp+_sH{2@i4d7L.o?AOCc0Q[1{"$JlMl"$[1ePhxm(*J|bi-8[- qUN%A+se_Si''8Up,oyN"$woNW^"3D[z 2 y = y y x /MediaBox [0 0 595.276 841.89] ) 2 = x Para simplificar, supongamos que k=1k=1 y hallemos las ecuaciones de las superficies de nivel para E=10yE=100.E=10yE=100. x x = ; + y ) 2 c ) y $4%&'()*56789:CDEFGHIJSTUVWXYZcdefghijstuvwxyz ? Supongamos ahora que f es una funcin de dos variables y g es . x A continuacin, cree un mapa de lneas de contorno para esta funcin. 2 2 x 2 2 c y = 4 5 f , + 3 y + ( ) , + Una de las aplicaciones ms tiles de las derivadas de una funcin de una variable es la determinacin de los valores mximos o mnimos. = x x 2 Las curvas de nivel siempre se grafican en el plano xy,xy, pero como su nombre indica, las trazas verticales se grafican en los planos xzxz o yz.yz. Extremos de funciones de dos variables Ejercicio 5.9.Determinar los extremos relativos de f(x;y) =1 3px2+y2: RESOLUCIN. xXKs6W(`FO-k;,Os%eCi-N3hHp?~]>IM:oj&&"`pP,}\N2YL,_{Lv,[CrIf}@aJQ3H%3Dj y + 2 x 2 y + Para hallar la curva de nivel para c=0,c=0, establecemos f(x,y)=0f(x,y)=0 y resolvemos. 2 y x pGgYiBJo^1x8"+OI,;. = Un punto de silla es un punto donde el gradiente de la funcin es nulo. ) , Lmite doble - Continuidad - Derivadas parciales - Derivadas sucesivas 03. , y 2 Esto da. Es decir, los candidatos a extremos relativos son los puntos 2 x y x ( x 9 2 7 x Los puntos crticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. x ,